行政不作为是指行政机关对应当履行的法定职责无正当理由拒绝、拖延或不予答复的行为。这种行为不仅违背了行政机关依法行政的原则，也损害了公民的合法权益。当公民遇到行政不作为的情况时，可以通过以下几种法律途径来解决：

1. 申请行政复议：
2. 根据《中华人民共和国行政复议法》规定，公民、法人或者其他组织认为具体行政行为侵犯其合法权益的，可以向行政机关提出行政复议申请。

3. 如果行政机关在法定期限内未作出复议决定或者不予受理复议申请，申请人可以在收到不予受理决定书之日起十五日内或者自知道具体行政行为之日起六十日内向人民法院提起行政诉讼。

4. 提起行政诉讼：

5. 依据《中华人民共和国行政诉讼法》的规定，公民、法人或其他组织可以直接向人民法院提起行政诉讼，要求法院判决行政机关履行其法定职责或者确认其不作为违法。

6. 在行政诉讼中，原告需证明自己有权利受到保护且该权利受到了侵害，而被告则负有举证责任，证明自己的行为合法合理。

7. 寻求法律援助：

8. 公民可以选择向法律援助机构咨询，了解如何通过法律途径解决行政不作为的问题。如果符合条件，还可以获得法律援助机构的帮助，包括提供免费或低收费的法律服务。

9. 投诉至上级机关：

10. 公民也可以向上级行政机关投诉，请求上级机关介入调查并处理下级行政机关的不作为行为。

11. 媒体曝光和社会监督：

12. 利用媒体的舆论力量，将行政不作为的事实公之于众，引起社会关注和讨论，形成公众压力促使相关部门解决问题。

下面举两个与行政不作为有关的典型案例进行说明：

案例一：某地居民王先生因所在小区附近存在严重噪音污染问题，多次向环保部门反映并要求查处。但环保部门一直未予回应。最终，王先生选择提起诉讼，并在法庭上提供了充分的证据，证明了环保部门的行政不作为。法院判决环保部门应立即采取措施制止噪音污染，并对王先生的损失予以赔偿。

案例二：张女士是一名创业者，她在办理企业注册手续过程中遇到了困难，当地工商局未能及时给予指导和支持。张女士决定申请行政复议，但在等待期间，她的创业计划受到影响。经过复议程序后，工商局被认定存在不作为行为，并被责令尽快协助张女士完成注册流程，同时对其造成的延误表示歉意。

综上所述，面对行政不作为，公民可以根据具体情况选择不同的法律途径来维护自身权益。无论是申请行政复议还是提起行政诉讼，都需要准备充足的证据材料，并遵循相应的法律程序。此外，寻求法律援助和社会监督也是有效的方式，有助于推动问题的解决和政策的改进。